引介 | 零知识证明算法之REDSHIFT

写在前面

伴随着区块链的技术发展，零知识证明（Zero Knowledger Proof, ZKP）技术先后在隐私和Layer2扩容领域得到越来越多的应用，技术也在持续的迭代更新。从需要不同的Trust Setup的ZKP（例如Groth16），到需要一次Trust Setup同时支持更新的ZKP（例如Plonk），再到不需要Trust Setup的ZKP（例如STARK），ZKP算法逐渐走向去中心化，从依赖经典NP问题，到不依赖任何数学难题，ZKP算法逐渐走向抗量子化；我们当然希望，一个不需要Trust Setup同时也不依赖任何数学难题、具有抗量子性的ZKP算法也具有较好的效率和较低的复杂度（STARK的证明太大），它就是REDSHIFT。

REDSHIFT

《REDSHIFT: Transparent SNARKs from List Polynomial Commitment IOPs》，从名字可以可出，它是基于List多项式承诺且具有透明性的SNARK算法。算法本身和PLONK有大部分的相似之处，唯一不同的是多项式承诺的原语不同。下面先简单的通过一张表格来展示REDSHIFT和PLONK算法的异同之处，具体如下：

算法名称/算法步骤 算术化（Arithmetization） 简洁证明QAP成立 特点

PLONK Statement -> Circuit -> QAP Kate Commitment General CRS

REDSHIFT Statement -> Circuit -> QAP FRI CommitmentNo Trust Setup

因此，只要对PLONK算法有深入了解的读者，相信再理解REDSHIFT算法，将是一件相对简单的事。笔者在此之前，已经对PLONK算法进行了深入的剖析；文章零知识证明算法之PLONK — 电路详细的分析了PLONK算法里，关于电路部分的详细设计，包括表格里的《Statement -> Circuit -> QAP》过程，并且还详细描述了PLONK算法里，关于“Permutation Check”的原理及意义介绍；文章零知识证明算法之PLONK — 协议对PLONK的协议细节进行了剖析，其中多项式承诺（ Polynomial Commitment）在里面发挥了重要的作用：保持确保算法的简洁性和隐私性

我们知道，零知识证明算法的第一步，就是算术化（Arithmetization），即把prover要证明的问题转化为多项式等式的形式；如若多项式等式成立，则代表着原问题关系成立。想要证明一个多项式等式关系是否成立比较简单，根据Schwartz–Zippel定理可推知，两个最高阶为n的多项式，其交点最多为n个；换句话说，如果在一个很大的域内（远大于n）随机选取一个点，如果多项式的值相等，那说明两个多项式相同。因此，verifier只要随机选取一个点，prover提供多项式在这个点的取值，然后由verifier判断多项式等式是否成立即可，这种方式保证了隐私性。

然而，上述方式存在一定的疑问，”如何保证prover提供的确实是多项式在某一点的值，而不是自己为了能保证验证通过而特意选取的一个值，这个值并不是由多项式计算而来？“，为了解决这一问题，在经典snark算法里，利用了KCA算法来保证，具体的原理可参见V神的zk-snarks系列；在plonk算法里，引入了多项式承诺（Polynomial Commitment）的概念，具体的原理可在”零知识证明算法之PLONK — 协议“里提到，简单来说，算法实现了就是在不暴露多项式的情况下，使得verifier相信多项式在某一点的取值的确是prover声称的值。两种算法都可以解决上述问题，但是通信复杂度上，多项式承诺要更小，因此也更简洁。

协议

下面将详细介绍REDSHIFT算法的协议部分，如前面所述，该算法与PLONK算法有很大的相似之处，因此本篇只针对不同的部分做详细介绍；相似的部分将会标注出来方便读者理解，具体如下图所示：

REDSHIFT协议

协议的1-6步骤在PLONK的算法设计里都有体现，这里着重分析一下后续的第7步骤。

在PLONK算法里，prover为了使verifier相信多项式等式关系的成立，由verifier随机选取了一个点，然后prover提供各种多项式（包括setup_poly，constriant_ploy，witness_poly）的commitment，由于使用的Kate commitment算法需要一次Trust Setup并依赖于离散对数难题，因此作为PLONK算法里的子协议，PLONK算法自然也需要Trust Setup且依赖于离散对数难题；

在REDSHIFT协议里，多项式的commitment是基于默克尔树的（简单讲，计算多项式在域H上的所有值，并当作默克尔树的叶子节点，最终形成的根，即为commitment）。若prover想证明多项式在某一个或某些点的值，证明方只需要根据这些值插值出具体的多项式，然后和原始的多项式做商并且证明得到商也是个多项式（阶是有限制的）即可。当然为了保护隐私，需要对原始多项式做隐匿处理，类似于上图协议中的第一步。在实际设计中，为了方面FRI协议的运行，往往设计原始多项式的阶d = 2^n + k (其中k = log(n)）。可能读者一直在疑惑前面一直提到的FRI协议具体是怎么运行的，幸运的是，笔者早就对FRI的具体原理做了解读（STARK系列），可以参考链接：

1. 理解零知识证明算法之Zk-stark；

2. 理解零知识证明算法之Zk-stark — Arithmetization

3. 深入理解零知识证明算法之Zk-stark — Low Degree Testing

4. 深入理解零知识证明算法之Zk-stark — FRI协议

结尾

老样子，欢迎读者的指正，谢谢。