撰文：雷达熊，DODO 创始人
一个有效的市场包含巨量信息，这些信息承载了市场对价格的判断。但是链上计算资源有限，要在链上实现一个高度灵活的市场，就好像要把大象塞进冰箱。
把大象塞冰箱这种事情并不罕见，互联网历史上已经有过几次壮举。例如图像压缩，音频压缩。
压缩的本质是提取最重要的特征，抛弃不重要的细节信息。
那么，一个市场最重要的特征是什么，是流动性。流动性可以表示为一张深度图。
从下图我们看到，深度图可以抽象为两个三角形，而描述这两个三角形，只需要中间价和斜率即可。
我们盯住右边的卖盘梯形深度，它的最大特点是，被买走的 Base Token 越多，价格越高。因此，这种线性深度可以表示为
其中 i 是 第一个参数 「mid price」，k 是第二个参数 「slope」。
B 表示当前的 Base Token 库存，B0 表示初始 Base Token 库存，(B0-B)/B0 用来表示有百分之多少的 BaseToken 被消耗掉了。
这一公式可以使得价格随着 Base Token 被卖出的数量线性增长。
但是，线性真的是描述流动性最好的方法吗？并不是，线性描述有两个局限：
- 真正的市场，大部分流动性集中市场中间价附近，而线性描述并没有反应这种不平衡的分布。
- 即使价格远远偏离市场中间价，也应该有流动性，而线性描述下的价格是有上下限的。
我们为价格曲线引入了非线性。在不扩充参数的前提下，使深度分布更符合市场规律，灵活度更高。
最简单的非线性解决方案，就是使用乘法而非加法。
这个公式可以满足随着 B 的减小，P 不断增大，直至无穷大。但是要怎么把斜率的影响加进去呢？
这就需要对 B0/B 这一项做改造了。B0/B≥1，我们用一个参数对其进行缩放，在保持此数值大于等于 1 的同时，可以控制它「大于 1 的程度」。
上式中，k 的取值范围是 [0,1]，决定了价格的斜率。
- 当 k=0 时，价格完全不变
- 当 k=1 时，价格斜率退化到上一个版本的公式
- k 越大，价格变化越敏感。k 越小，价格变化越不敏感。
但是还有一个小问题，这里的 P 是边际价格，对边际价格的积分才是用户需要支付的资产数量。上式中，B0/B 这项积分后出现了对数函数，这会使后续计算变得很复杂。为了避免这一麻烦，我们再进一步：
在 B0/B 外面加一个平方项，这样积分后就变成了一个简单的除法。
令人惊叹的是，当 k=1 时，这条曲线正是 AMM 所定义的 bonding curve。这种巧合使我们相信，这是一套更加触及市场本质的算法。
同理，对于左半边的深度图，我们用对称的做法，将 base token 替换为 quote token，将乘法替换为除法：
我们将左右两边的深度图结合起来，就得到了 PMM 算法的完全版本，整理一下：
PMM 算法是对 Orderbook 市场的高度压缩，参数简单，却极度灵活。
这使得我们在冰箱如此狭小的空间内，拥有了堪比大象的能力。
下面我来列举，通过调整参数和充提规则，这套算法可以实现哪些 use case。
Use Case 1 跟随外部市场价格的主动做市
这一 use case 的应用场景是拥有巨大外部市场的主流币，例如 ETH BTC 等
PMM 可以实现主动调整盘口价格，减少 IL。获得比 AMM 更高的资金利用率，并且持有单币种就能提供流动性
设置如下：
- 将价格 i 设置为外部市场价格
- 将 k 设置为小于 1 的数字
- 允许任何人单边充提
这一 Use Case 我们称之为 DODO Classic Pool。
Use Case 2 轻资本需求的自动做市算法
这一 use case 应用于没有主观定价能力的长尾币市场，将定价权完全交给 taker
通常来讲，长尾币都是新资产，在 AMM 框架下没有足够的卖盘流动性，因而导致其流动性长期匮乏
设置如下：
- 将价格 i 设置成起始发行价
- 任意设置 k
- 第一笔充值可以以任意资产比例，且不改变市场价
- 后续充值（或提现）必须按照当前资产比例同时操作两种资产
这一 Use Case 我们称之为 DODO Vending Machine。
Use Case 3 完全自由的做市算法
这一 use case 为那些雄心勃勃，想要大展拳脚的做市商准备。（做市商也可以是项目方或个人）
在此 use case 下，资金池的全部资金都归做市商所有。所有参数都可以调整，做市商可以根据他的判断为资产灵活定价。同时做市商可以任意充提单一币种，而不影响市场价格。
例如：
- 在 ETH=700USDT 附近做市，使用很小的 k 获得非常有竞争力的流动性，并赚取大量手续费。当察觉到 ETH 有上涨预期时，撤出 ETH 库存以减少单边风险。但这一操作并不削弱买盘流动性。
- 新资产发行项目方只提供代币而不提供资金。在 1$ 开始销售代币。为了让更多人以合理价格买到代币，设置了较小的 k，使得代币上涨温和。随后项目方发现需要使用资金，则可以直接提出资金池中的资产，而不损害卖盘流动性，即用户仍然可以买到大量廉价代币。
设置如下：
- 只有做市商能充提，允许单币种操作
这一 Use Case 我们称之为 DODO Private Pool。
Use Case 4 流动性众筹
我们可以将新资产发行分为两阶段：
- 不开启现货交易，所有参与发售的人都以相同的价格获得代币
- 以上一阶段的结束价格开启现货交易，使用上一阶段剩余的代币和资产建立 DODO Vending Machine
这一 Use Case 我们称之为 CrowdPooling。
Use Case 5 退化为 AMM
当满足以下条件时，PPM 算法表现和 AMM 相同。
- 设置 k=1
- 必须按照当前价格比例同时充提两种资产
这也意味着，AMM 是 PMM 的一种特殊情况。推导过程如下：
AMM 的价格公式是 xy = k，其中 k 是常数，x、y 则分别代表两种代币的数量。为了避免字母上的歧义，我们把 AMM 公式中的恒定乘积定义为Const，并将其改写为 y=Const/x。
其中 y 代表 quote token 库存，x 代表 base token 库存，价格可以写为对 y 求导（注意这里要加绝对值，因为价格是正数）。
接下来回到 k=1 的 PMM 公式，我们可以将其写成：
我们发现，PMM 价格公式的分子上为常数，分母为 base token 的库存。只要令
AMM 的定价公式，与 PMM 的定价公式就一致了！
Use Case 6 稳定币交易
设置如下：
- i=1
- k=0.001 （这个值越小，越接近稳定币刚性兑换）
算法表现可以与 curve 相同，并且更灵活，可以比 curve 更接近刚性兑换，或更接近 AMM。
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